Descompunere în factori: formule și exerciții de la Evaluarea Națională

Arată că $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$, pentru orice număr real $x$.

Arată că numărul $N = \sqrt{E(2) + E(4) + E(6) + \ldots + E(16)}$ este natural.

Arată că $\dfrac{1}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}$, pentru orice număr real $x$, $x \neq -2$ și $x \neq 2$.

Arată că numărul $N = E\left(\sqrt{2} - 1\right) + 3 \cdot E\left(\sqrt{2} + 1\right)$ este natural.

Se consideră expresia $E(x)=x(3x-2)^2-2(x^2-2x)(3x-2)+x(x^2-4x+4)$, unde $x$ este număr real. Arătați că, pentru orice număr real $a$, $E(-a)+E(a)=0$.

Se consideră expresia $E(x)=(2x+3)^2+x(x-15)-4(x-1)^2+1$, unde $x$ este număr real. Calculați $N=a^2+b^2$, unde $a$ și $b$, cu $a<b$, sunt numerele reale pentru care $E(x)=(x+a)(x+b)$, pentru orice număr real $x$.

Arătați că $(x + 2)^3 - x - 2 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)$, pentru orice $x$ număr real.

Se consideră expresia $E(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2}\right) : \dfrac{1}{x^2 - 4} - x(x - 1)$, unde $x$ este număr real, $x \neq -2$ și $x \neq 2$. Arătați că $E(x) = 2$, pentru orice $x$ număr real, $x \neq -2$ și $x \neq 2$.

Se consideră expresia $E(x) = \dfrac{(x - 3)^2 - 16}{x + 1} : \dfrac{x^2 - 7x}{x}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -1$, $x \neq 0$ și $x \neq 7$. Arătați că $E(x) = 1$, pentru orice $x$ număr real, $x \neq -1$, $x \neq 0$ și $x \neq 7$.

Se consideră expresia $E(x) = \left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x + 2}\right) : \dfrac{4}{x\left(x^2 - 4\right)}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -2$, $x \neq 0$ și $x \neq 2$. Arătați că $E(x) = 2$, pentru orice $x$ număr real, $x \neq -2$, $x \neq 0$ și $x \neq 2$.

Se consideră expresia $E(x) = \dfrac{(x + 1)^2 - 4}{x} : \dfrac{x^2 - x}{x^2}$, unde $x$ este număr real, $x \neq 0$ și $x \neq 1$. Determinați numărul real $m$, $m \neq 0$ și $m \neq 1$, știind că $E(m) = 5$.

Se consideră expresia $E(x) = \dfrac{x^2 - 49}{x^2 - 7x} - \dfrac{2x + 7}{x^2 + x} : \dfrac{1}{x + 1}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -1$, $x \neq 0$ și $x \neq 7$. Arătați că $E(x) = -1$, pentru orice $x$ număr real, $x \neq -1$, $x \neq 0$ și $x \neq 7$.

Se consideră expresia $E(x) = \left(\dfrac{2x - 8}{x^2 - 8x + 15} - \dfrac{1}{x - 3}\right) : \dfrac{1}{x^2 - 25}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -5$, $x \neq 3$ și $x \neq 5$. Arătați că $E(x) = x + 5$, pentru orice număr real $x$, $x \neq -5$, $x \neq 3$ și $x \neq 5$.

Simplificați raportul $\dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x^2 - 9}$ prin $x - 3$, unde $x$ este număr real, $x \neq -3$ și $x \neq 3$.

Se consideră expresia $E(x) = \left(\dfrac{x - 2}{x^2 - 4} \cdot \dfrac{5x + 10}{x - 3} + 1\right) \cdot \dfrac{x - 3}{x + 2}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -2$, $x \neq 2$ și $x \neq 3$. Arătați că $E(x) = 1$ pentru orice $x$ număr real, $x \neq -2$, $x \neq 2$ și $x \neq 3$.

Se consideră expresia $E(x) = \left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{x}{x^2 - 4}\right) : \dfrac{2}{(x - 2)(x + 2)}$, unde $x$ este număr real, $x \neq -2$ și $x \neq 2$. Arătați că $E(x) = 1$, pentru orice număr real $x$, $x \neq -2$ și $x \neq 2$.

Simplificați raportul $\dfrac{x^2 - 2x - 15}{x^2 - 10x + 25}$ cu $x - 5$, unde $x \in \mathbb{R} \setminus \{5\}$.