Poligoane regulate înscrise în cerc: formule și exerciții de la Evaluarea Națională

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AA' = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AB = 4\text{ cm}$. Volumul prismei $ABCA'B'C'$ este egal cu:

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$. Dacă $AB = 4\text{ cm}$, atunci aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, înscris în cercul de centru $O$. Punctul $D$ aparține arcului mic $BC$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $10\text{ cm}$. Triunghiul echilateral $ABC$ este înscris în acest cerc. Lungimea laturii triunghiului echilateral $ABC$ este egală cu:

Arată că $AD = 16\text{ cm}$.

Calculează aria patrulaterului $ABCD$.

Punctul $O$ este situat în interiorul triunghiului echilateral $ABC$ astfel încât $AO = BO = CO$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $\ldots^\circ$.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $AMB$, cu $AB = 8\sqrt{2}\text{ cm}$, înscris într-un cerc care are raza egală cu $8\text{ cm}$. Măsura unghiului $AMB$ este egală cu:

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu lungimea laturii de $12\text{ cm}$. Punctul $M$ se află în interiorul triunghiului $ABC$, la distanțe egale de laturile triunghiului. Distanța de la punctul $M$ la dreapta $BC$ este egală cu:

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB = 4\sqrt{2}\text{ cm}$, înscris într-un cerc de centru $O$. Lungimea cercului este egală cu:

Calculează lungimea segmentului $AC$.

Arată că aria trapezului $ABQP$ este egală cu $6\left(3 + 2\sqrt{3}\right)\text{ cm}^2$.

În figura alăturată punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe cerc, astfel încât arcele $AB$, $BC$, $CD$ și $AD$ sunt congruente. Dacă $AC = 12\text{ cm}$, atunci lungimea cercului este egală cu:

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu baza $ABCD$ și $VA = AB = 4\text{ cm}$. Aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu:

În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$. Punctul $O$, din interiorul triunghiului, se află la distanțe egale cu $4\text{ cm}$ de fiecare dintre cele trei vârfuri ale triunghiului. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $D$ este simetricul punctului $O$ față de punctul $M$. Lungimea segmentului $OD$ este egală cu:

Arată că $MO = 2\sqrt{2}\text{ cm}$.

Demonstrează că tangenta unghiului $BPA$ este egală cu $1 + \sqrt{2}$.

Arată că perimetrul triunghiului $ACE$ este egal cu $36\sqrt{2}\text{ cm}$.

Arată că distanța de la punctul $D$ la dreapta $AE$ este egală cu $3\sqrt{2}\left(\sqrt{3} - 1\right)\text{ cm}$.