Evaluare Națională 2016 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui teren. Triunghiul $ABC$ este echilateral cu $AB = 18\text{ m}$ și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât triunghiul $ACD$ este obtuzunghic, cu $CD = 9\text{ m}$ . Punctul $E$ este situat pe segmentul $AD$ , astfel încât $\angle ACE \equiv \angle DCE$ .

Figura 2: triunghiul echilateral ABC cu D pe prelungirea lui BC dincolo de C; E pe AD, segmentul CE trasat punctat.

a)5 p

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $81\sqrt{3}\text{ m}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{18^2\sqrt{3}}{4} =$ 2 p
$= \dfrac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}\text{ m}^2$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că dreptele $EC$ și $AB$ sunt paralele.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$m(\angle ACD) = 120^\circ \Rightarrow m(\angle ACE) = 60^\circ$ 2 p
$\angle ACE \equiv \angle BAC$ și unghiurile $\angle ACE$ și $\angle BAC$ sunt alterne interne, obținem $EC \parallel AB$ 3 p

c)5 p

Arătați că triunghiul $EAC$ are perimetrul egal cu $6\left(4 + \sqrt{7}\right)\text{ m}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM = 9\sqrt{3}\text{ m}$ , unde $M$ este mijlocul laturii $BC$ și, cum $\triangle AMD$ este dreptunghic, obținem $AD = 9\sqrt{7}\text{ m}$ 2 p
$\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{EC}{AB} = \dfrac{DC}{DB} \Rightarrow \dfrac{DE}{9\sqrt{7}} = \dfrac{EC}{18} = \dfrac{9}{27} \Rightarrow DE = 3\sqrt{7}\text{ m}$ , $EC = 6\text{ m}$ , de unde $AE = 6\sqrt{7}\text{ m}$ și $P_{\triangle EAC} = 24 + 6\sqrt{7} = 6\left(4 + \sqrt{7}\right)\text{ m}$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2016, sesiunea iunie (Varianta 07) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Arii și perimetre în plan Poligoane regulate înscrise în cerc Drepte paralele și perpendiculare în plan Unghiuri Teorema lui Thales și asemănarea Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).