Evaluare Națională 2010 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

Figura 2 reprezintă schița unui patinoar format dintr-un dreptunghi $MNPQ$ care are lungimea $MN$ de $40\text{ m}$ și lățimea de $30\text{ m}$ și din două semicercuri de diametre $[MQ]$ , respectiv $[NP]$ .

Figura 2: dreptunghiul MNPQ cu câte un semicerc pe laturile MQ și NP; B și C sunt mijloacele lui MQ și NP, A este mijlocul lui PQ; triunghiul ABC este trasat punctat.

a)5 p

Patinoarul este înconjurat de un gard. Calculați lungimea gardului care înconjoară patinoarul.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $(30\pi + 80)\text{ m}$

Barem oficial

Raza cercului $= 15\text{ m}$ 1 p
Lungimea celor două semicercuri este egală cu lungimea unui cerc. Lungimea cercului $= 2\pi R$ 2 p
Lungimea gardului $= (30\pi + 80)\text{ m}$ 2 p

b)5 p

Verificați dacă aria patinoarului este mai mică decât $2000\text{ m}^2$ . ( $3{,}14 < \pi < 3{,}15$ )

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aria dreptunghiului $= 1200\text{ m}^2$ 1 p
Aria celor două semicercuri $= 225\pi\text{ m}^2$ 1 p
Aria patinoarului $= (1200 + 225\pi)\text{ m}^2$ 1 p
$1200 + 225\pi < 1200 + 225 \cdot 3{,}15 < 2000$ 2 p

c)5 p

Un patinator parcurge distanțele $AB$ , $BC$ și $CA$ . Punctele $B$ și $C$ sunt mijloacele segmentelor $[MQ]$ , respectiv $[NP]$ și $A$ este mijlocul segmentului $[PQ]$ . Calculați valoarea sinusului unghiului $ABC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{3}{5}$

Barem oficial

Triunghiul $ABC$ este isoscel1 p
$\sin(\angle ABC) = \sin(\angle ABO) = \dfrac{AO}{AB}$ , unde $O$ este mijlocul laturii $[BC]$ 1 p
$AO = 15\text{ m}$ 1 p
Din teorema lui Pitagora rezultă $AB = 25\text{ m}$ 1 p
$\sin(\angle ABC) = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$ 1 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2010, sesiunea iunie (Varianta 5) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru cercul · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ , în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$ , dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$ , $DN = 6\text{ cm}$ și $MN = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB (vertical) și CD (orizontal); M este pe arcul mic BC, DM taie AB în N; segmentul MB este trasat.

Rezolvă →

Cercul Patrulatere Arii și perimetre în plan Numere reale: apartenență, comparare, modul Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Triunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).