Evaluare Națională 2016 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă $ABCDEF$ , cu baza triunghi echilateral, $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 10\sqrt{3}\text{ cm}$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AD$ , respectiv $BE$ .

Figura 3: prisma dreaptă triunghiulară ABCDEF; M mijlocul lui AD, N mijlocul lui BE; triunghiurile CMN și FMN trasate.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{\triangle ABC} = 3AB =$ 2 p
$= 3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Arătați că aria laterală a prismei este mai mică decât $525\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = P_{\triangle ABC} \cdot AD = 30 \cdot 10\sqrt{3} = 300\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 3 p
Cum $300\sqrt{3} < 525 \Leftrightarrow 4\sqrt{3} < 7 \Leftrightarrow \sqrt{48} < \sqrt{49}$ , obținem $\mathcal{A}_{\text{laterală}} < 525\text{ cm}^2$ 2 p

c)5 p

Demonstrați că planele $(CMN)$ și $(FMN)$ sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiurile $FMN$ și $CMN$ sunt isoscele, deci $FO \perp MN$ și $CO \perp MN$ , unde $O$ este mijlocul segmentului $MN$ 2 p
$(CMN) \cap (FMN) = MN$ , $CO \perp MN$ și $CO \subset (CMN)$ , $FO \perp MN$ și $FO \subset (FMN)$ , deci $m(\angle((CMN), (FMN))) = m(\angle(CO, FO))$ 1 p
$FO = 5\sqrt{6}\text{ cm}$ , $CO = 5\sqrt{6}\text{ cm} \Rightarrow FO^2 + CO^2 = 300 = FC^2$ , deci $m(\angle COF) = 90^\circ$ , adică $m(\angle((CMN), (FMN))) = 90^\circ$ , de unde $(CMN) \perp (FMN)$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2016, sesiunea iunie (Varianta 07) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Triunghiul: proprietăți și congruență Arii și volume ale corpurilor Radicali Numere reale: apartenență, comparare, modul Unghiuri în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).