Evaluare Națională 2026 · Matematică · modelul de subiect · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

a)2 p

Arată că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8\sqrt{3}\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MN$ este linie mijlocie în triunghiul $DAC$ , deci $MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$NP = MP = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ , deci triunghiul $MNP$ este echilateral $\Rightarrow \mathcal{A}_{\triangle MNP} = \dfrac{\left(4\sqrt{2}\right)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 1 p

b)3 p

Arată că distanta la punctul $D'$ la planul $(MNP)$ este egală cu $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$DD' \cap (MNP) = \{P\}$ , $P$ mijlocul lui $DD'$ , de unde obținem $d(D', (MNP)) = d(D, (MNP))$ 1 p
$DM = DN = DP$ , deci $DMNP$ este piramidă regulată cu baza triunghiul echilateral $MNP \Rightarrow d(D, (MNP)) = DT$ , unde $T$ este centrul cercului circumscris triunghiului $MNP$ 1 p
$PQ \perp MN$ , $Q \in MN$ , $DQ = \dfrac{1}{4} \cdot BD = 2\sqrt{2}\text{ cm}$ , $DP = 4\text{ cm}$ și, cum $PQ = 2\sqrt{6}\text{ cm} \Rightarrow DT = \dfrac{DP \cdot DQ}{PQ} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$ , deci $d(D', (MNP)) = DT = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2026, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Linii importante în triunghi Arii și perimetre în plan Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).