Evaluare Națională 2026 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $AD$ și punctul $P$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $M$ .

Tetraedrul regulat ABCD; M este mijlocul muchiei AD, iar P este simetricul lui B față de M; sunt trasate BP, CP și DP.

a)2 p

Arată că $CP = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BM = CM$ și $PM = BM \Rightarrow BP = 2 \cdot CM$ , deci triunghiul $PCB$ este dreptunghic în $C$ 1 p
$CM = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ , $PC = \sqrt{PB^2 - BC^2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Arată că sinusul unghiului dreptelor $DP$ și $CM$ este egal cu $\dfrac{\sqrt{33}}{6}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ME$ este linie mijlocie în triunghiul $PDB$ , unde $E$ este mijlocul segmentului $BD$ , deci $ME \parallel DP \Rightarrow \angle(DP, CM) = \angle(ME, CM)$ 1 p
$ME = \dfrac{AB}{2} = 3\text{ cm}$ și, cum $CE = CM$ , obținem că triunghiul $MCE$ este isoscel1 p
$CF \perp ME$ , $F \in ME \Rightarrow CF = \sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{2}\right)^2} = \dfrac{3\sqrt{11}}{2}\text{ cm}$ , iar din triunghiul dreptunghic $CFM$ rezultă că $\sin(\angle CMF) = \dfrac{CF}{MC} = \dfrac{3\sqrt{11}}{2} \cdot \dfrac{1}{3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{33}}{6}$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2026, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Distanțe în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).