Evaluare Națională 2026 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$ , punctul $P$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $BC$ și punctul $Q$ este proiecția punctului $P$ pe dreapta $AB$ .

Triunghiul echilateral ABC; M este mijlocul lui AC, P piciorul perpendicularei din M pe BC, Q piciorul perpendicularei din P pe AB; triunghiul MPQ este trasat.

a)2 p

Arată că $PC = 2\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MC = \dfrac{AC}{2} = 4\text{ cm}$ 1 p
$MP \perp BC$ , $\angle PMC = 30^\circ$ , deci $PC = \dfrac{MC}{2} = 2\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Determină aria triunghiului $MPQ$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$

Barem oficial

$PQ \perp AB$ , $\angle PBQ = 60^\circ$ , de unde obținem $PQ = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p
$QT \perp MP$ , unde $T \in MP$ , $\angle MPQ = 60^\circ$ , deci $\sin(\angle TPQ) = \dfrac{QT}{QP}$ , de unde $QT = \dfrac{9}{2}\text{ cm}$ 1 p
$MP = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ , deci $\mathcal{A}_{\triangle MPQ} = \dfrac{QT \cdot MP}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2026, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru relații metrice în triunghiul dreptunghic · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ . Punctul $Q$ se află pe latura $AB$ , astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$ . Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; Q pe AB, P pe BC cu QP paralel cu AC; G este centrul de greutate pe mediana AM.

Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).