Evaluare Națională 2026 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $ABCD$ este pătrat, cu $AB = 4\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul arcului mic $AD$ , iar dreptele $AD$ și $BM$ se intersectează în punctul $P$ .

Pătratul ABCD înscris în cercul de centru O; M este mijlocul arcului mic AD, segmentul MO este trasat, iar BM intersectează latura AD în P.

a)2 p

Arată că $MO = 2\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BD = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
$MO = OB = \dfrac{BD}{2}$ , deci $MO = 2\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Demonstrează că tangenta unghiului $BPA$ este egală cu $1 + \sqrt{2}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

În triunghiul isoscel $OAD$ , $OM$ este bisectoare, deci $OQ$ este înălțime și mediană, $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $OM$ și $AD$ , de unde obținem $OQ = 2\text{ cm}$ și $MQ = 2\left(\sqrt{2} - 1\right)\text{ cm}$ 1 p
$MQ \parallel AB \Rightarrow \triangle MPQ \sim \triangle BPA \Rightarrow \dfrac{MQ}{BA} = \dfrac{PQ}{PA} \Rightarrow \dfrac{BA + MQ}{BA} = \dfrac{PA + PQ}{PA}$ , deci $\dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{BA} = \dfrac{2}{PA}$ 1 p
În triunghiul $BAP$ , dreptunghic în $A$ , $\operatorname{tg}(\angle BPA) = \dfrac{BA}{PA} = \dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}$ 1 p

← Ex. 3 · Ex. 5 → · Toate exercițiile din EN 2026, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru cercul · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ , în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$ , dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$ , $DN = 6\text{ cm}$ și $MN = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB (vertical) și CD (orizontal); M este pe arcul mic BC, DM taie AB în N; segmentul MB este trasat.

Rezolvă →

Cercul Poligoane regulate înscrise în cerc Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).