Evaluare Națională 2020 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată cu $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este situat pe muchia $CV$ astfel încât suma $BM + DM$ are valoare minimă.

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD cu O centrul bazei și M pe muchia CV; sunt trasate BM, DM și OM.

a)5 p

Arătați că aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu $144\sqrt{3}\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = 4\mathcal{A}_{\triangle VAB} =$ 2 p
$= 4 \cdot \dfrac{12 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 144\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $VA$ este paralelă cu planul $(BMD)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle BCM \equiv \triangle DCM \Rightarrow BM = DM$ , deci valoarea minimă a expresiei $BM + DM$ se obține dacă $BM$ este minim și, cum $\triangle VBC$ este echilateral, obținem $BM \perp CV$ , deci punctul $M$ este mijlocul lui $CV$ 2 p
$OM$ este linie mijlocie în $\triangle ACV \Rightarrow OM \parallel VA$ și, cum $OM \subset (BMD)$ , obținem $VA \parallel (BMD)$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul $(BMD)$ este egală cu $6\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CV \perp BM$ , $CV \perp DM$ și $BM \cap DM = \{M\} \Rightarrow CV \perp (BMD)$ 2 p
$VA \parallel (BMD) \Rightarrow d(A, (BMD)) = d(V, (BMD)) = VM = 6\text{ cm}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Poligoane regulate înscrise în cerc Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).