Evaluare Națională 2019 · Matematică · subiectul de rezervă · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' cu AB=12 cmAB = 12\text{ cm} și {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD.

Figura 3: cubul ABCDA'B'C'D' cu O centrul bazei; triunghiul AB'C trasat.

a)5 p

Arătați că AO=62 cmAO = 6\sqrt{2}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. AC=122 cmAC = 12\sqrt{2}\text{ cm}2 p
  2. OO este mijlocul segmentului ACAC, deci AO=AC2=62 cmAO = \dfrac{AC}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}3 p

b)5 p

Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele (ABC)(ABC) și (AB′C)(AB'C) este egal cu 63\dfrac{\sqrt{6}}{3}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Cum (ABC)∩(AB′C)=AC(ABC) \cap (AB'C) = AC, BO⊥ACBO \perp AC, BO⊂(ABC)BO \subset (ABC) și B′O⊥ACB'O \perp AC, B′O⊂(AB′C)B'O \subset (AB'C), obținem m(∠((ABC),(AB′C)))=m(∠(BO,B′O))m(\angle((ABC), (AB'C))) = m(\angle(BO, B'O))3 p
  2. △B′BO\triangle B'BO dreptunghic în BB, B′O=66 cm⇒sin⁡(∠(BO,B′O))=sin⁡(∠BOB′)=BB′B′O=63B'O = 6\sqrt{6}\text{ cm} \Rightarrow \sin(\angle(BO, B'O)) = \sin(\angle BOB') = \dfrac{BB'}{B'O} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}2 p

c)5 p

Determinați distanța de la punctul D′D' la planul (AB′C)(AB'C).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 83 cm8\sqrt{3}\text{ cm}

Barem oficial

  1. D′A=D′B′=D′C=122 cmD'A = D'B' = D'C = 12\sqrt{2}\text{ cm} și △AB′C\triangle AB'C este echilateral, deci D′AB′CD'AB'C este piramidă triunghiulară regulată și d(D′,(AB′C))=D′Md(D', (AB'C)) = D'M, unde MM este centrul cercului circumscris △AB′C\triangle AB'C3 p
  2. △D′MB′\triangle D'MB' dreptunghic în MM, B′M=46 cmB'M = 4\sqrt{6}\text{ cm}, deci D′M=83 cmD'M = 8\sqrt{3}\text{ cm}2 p

· Toate exercițiile din EN 2019, subiect de rezervă (Varianta 2) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriPatrulatereUnghiuri în spațiuTrigonometrie în triunghiul dreptunghicDistanțe în spațiuPoligoane regulate înscrise în cerc

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).