Evaluare Națională 2018 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ cu $AB = 10\text{ cm}$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $CD$ , respectiv $BC$ .

Figura 3: tetraedrul regulat ABCD; M mijlocul lui CD, N mijlocul lui BC; P pe AM și Q pe DN, segmentul PQ trasat.

a)5 p

Arătați că suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egală cu $60\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egală cu $6AB =$ 3 p
$= 6 \cdot 10 = 60\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Arătați că aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu $\sqrt{3}\text{ dm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ este tetraedru regulat, deci $\mathcal{A}_{\text{totală}} = 4 \cdot \mathcal{A}_{\triangle ABC} =$ 2 p
$= 100\sqrt{3}\text{ cm}^2 = \sqrt{3}\text{ dm}^2$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că dreapta $PQ$ este paralelă cu planul $(ABD)$ , unde punctele $P$ și $Q$ sunt situate pe segmentele $AM$ , respectiv $DN$ astfel încât $\dfrac{AP}{AM} = \dfrac{DQ}{DN} = \dfrac{1}{3}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\dfrac{DQ}{DN} = \dfrac{1}{3}$ , deci $Q$ este mijlocul segmentului $DO$ , unde $O$ este centrul de greutate al $\triangle BCD$ 1 p
$TQ$ este linie mijlocie în $\triangle ODB \Rightarrow TQ \parallel BD$ , unde $T$ este mijlocul segmentului $OB$ 1 p
$\dfrac{AP}{PM} = \dfrac{BT}{TM} \Rightarrow PT \parallel AB$ și, cum $PT \not\subset (ABD)$ și $TQ \not\subset (ABD)$ , obținem $(PTQ) \parallel (ABD)$ 2 p
Cum $PQ \subset (PTQ)$ , obținem $PQ \parallel (ABD)$ 1 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2018, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Poligoane regulate înscrise în cerc Paralelism și perpendicularitate în spațiu Linii importante în triunghi Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).