Evaluare Națională 2021 · Matematică · sesiunea din iulie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ cu $AB = 6\text{ cm}$ . Intersecția dreptelor $BC'$ și $B'C$ este punctul $O$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Cubul ABCDA'B'C'D'; O centrul feței BCC'B'; M mijlocul muchiei AB; triunghiul AB'C trasat.

a)2 p

Arată că $AO = 3\sqrt{6}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AB' = B'C = AC = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ , deci triunghiul $AB'C$ este echilateral1 p
Punctul $O$ este mijlocul segmentului $B'C$ , deci $AO$ este înălțime în triunghiul $AB'C$ , de unde obținem $AO = 3\sqrt{6}\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(AB'C)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\sqrt{3}\text{ cm}$

Barem oficial

$AO \perp B'C$ , $BC' \perp B'C$ , $AO \cap BC' = \{O\}$ , deci $B'C \perp (ABC')$ 1 p
$ME \perp AO$ , unde $E \in AO$ , $ME \perp B'C$ și, cum $AO \cap B'C = \{O\}$ , obținem $ME \perp (AB'C)$ , deci distanța de la punctul $M$ la planul $(AB'C)$ este $ME$ 1 p
$\triangle AME \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac{AM}{AO} = \dfrac{ME}{OB}$ , de unde obținem $ME = \sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2021, sesiunea din 6 iulie 2021 (Varianta 4) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Poligoane regulate înscrise în cerc Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).