Evaluare Națională 2015 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA = 3\sqrt{5}\text{ dm}$ și $AB = 6\text{ dm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ .

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD cu apotema VM, M mijlocul lui AD.

a)5 p

Arătați că $VM = 6\text{ dm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM = 3\text{ dm}$ 2 p
$VM^2 = VA^2 - AM^2 \Rightarrow VM = 6\text{ dm}$ 3 p

b)5 p

Calculați câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței laterale a piramidei, știind că pentru vopsirea unei suprafețe de un decimetru pătrat se folosesc $30$ grame de vopsea.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $2160$ g

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = \dfrac{P_{ABCD} \cdot VM}{2} = 72\text{ dm}^2$ 3 p
Cantitatea de vopsea necesară pentru vopsirea suprafeței laterale este $72 \cdot 30 = 2160$ g2 p

c)5 p

Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele $(VAD)$ și $(VBC)$ este egal cu $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AD \subset (VAD)$ , $BC \subset (VBC)$ și $AD \parallel BC \parallel d$ , unde $d = (VAD) \cap (VBC)$ 1 p
$N$ este mijlocul lui $(BC) \Rightarrow VN \perp BC$ și cum $VM \perp AD$ , obținem $m(\angle((VAD), (VBC))) = m(\angle(VM, VN))$ 2 p
$\triangle VMN$ echilateral $\Rightarrow \sin(\angle MVN) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2015, sesiunea iunie (Varianta 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și volume ale corpurilor Mărimi direct și invers proporționale Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).