Evaluare Națională 2017 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$ , cu $AB \parallel CD$ , $AD \perp AB$ , $AB = 100\text{ m}$ , $CD = 60\text{ m}$ și $AD = 40\sqrt{3}\text{ m}$ . Segmentul $CE$ , unde $E \in (AB)$ , împarte suprafața trapezului $ABCD$ în două suprafețe cu arii egale.

Figura 2: trapezul dreptunghic ABCD cu AD perpendiculară pe baze și segmentul CE, cu E pe AB.

a)5 p

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $3200\sqrt{3}\text{ m}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} =$ 2 p
$= \dfrac{(100 + 60) \cdot 40\sqrt{3}}{2} = 3200\sqrt{3}\text{ m}^2$ 3 p

b)5 p

Calculați măsura unghiului $BCD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $120^\circ$

Barem oficial

$CM = 40\sqrt{3}\text{ m}$ , unde $M \in (AB)$ astfel încât $CM \perp AB$ 1 p
$MB = 40\text{ m}$ și, cum $\triangle BCM$ este dreptunghic, obținem $BC = 80\text{ m}$ și $m(\angle BCM) = 30^\circ$ 3 p
$m(\angle BCD) = m(\angle BCM) + m(\angle MCD) = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$ 1 p

c)5 p

Demonstrați că triunghiul $CEB$ este echilateral.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ trapez $\Rightarrow m(\angle ABC) = 180^\circ - m(\angle BCD) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ 1 p
$\mathcal{A}_{\triangle CEB} = \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{A}_{ABCD} \Rightarrow \dfrac{EB \cdot 40\sqrt{3}}{2} = 1600\sqrt{3}$ , de unde obținem $EB = 80\text{ m}$ 2 p
Cum $EB = BC$ și $m(\angle EBC) = 60^\circ \Rightarrow \triangle CEB$ este echilateral2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2017, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Arii și perimetre în plan Radicali Relații metrice în triunghiul dreptunghic Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Triunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).