Evaluare Națională 2017 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB = 8\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Pe segmentul $BD$ se consideră punctele $E$ și $F$ astfel încât $m(\angle DAE) = m(\angle EAF) = m(\angle FAB)$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD, cu A jos-stânga, B jos-dreapta, C sus-dreapta, D sus-stânga; E și F sunt pe diagonala DB, în ordinea D, E, F, B; AE și AF împart unghiul DAB în trei unghiuri egale.

a)5 p

Arătați că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $16(\sqrt{3} + 1)\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P = 2(AB + AD)$ 2 p
$P = 2(8\sqrt{3} + 8) = 16(\sqrt{3} + 1)\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că punctele $A$ , $F$ și $C$ sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle ABD$ este dreptunghic, deci $BD = 16\text{ cm}$ și, cum $AD = \dfrac{BD}{2}$ , obținem $m(\angle ABD) = 30^\circ$ 2 p
$m(\angle ADF) = m(\angle DAF) = 60^\circ$ , deci $\triangle AFD$ este echilateral, astfel $F$ este mijlocul segmentului $BD$ și, cum $ABCD$ este dreptunghi, obținem $F \in (AC)$ 3 p

c)5 p

Știind că $FM \parallel AB$ , unde $M \in (AD)$ și $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $FM$ și $AE$ , demonstrați că dreptele $DN$ și $AC$ sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$FM \parallel AB$ și $AB \perp AD$ , deci $FM \perp AD$ , adică $FM$ este înălțime în $\triangle AFD$ 2 p
$AE$ este bisectoare în triunghiul echilateral $AFD$ , deci $AE$ este înălțime în $\triangle AFD$ . Punctul $N$ este ortocentrul triunghiului $AFD$ , deci $DN \perp AC$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2017, 21 iunie (Varianta 6) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru arii și perimetre în plan · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3$ .

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă crescătoare care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.

Rezolvă →

Arii și perimetre în plan Radicali Relații metrice în triunghiul dreptunghic Triunghiul: proprietăți și congruență Patrulatere Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).