Evaluare Națională 2017 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un cilindru circular drept cu generatoarea $AA' = 12\text{ cm}$ . Segmentul $AB$ este diametru al bazei cilindrului, $AB = 10\text{ cm}$ și punctul $O'$ este mijlocul diametrului $A'B'$ .

Figura 3: cilindru circular drept, cu AB diametru al bazei de jos, A'B' diametru al bazei de sus, O' mijlocul lui A'B'; sunt trasate A'B și AO'.

a)5 p

Arătați că aria laterală a cilindrului circular drept este egală cu $120\pi\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$A_{\text{laterală}} = 2\pi RG$ 2 p
$A_{\text{laterală}} = \pi \cdot 10 \cdot 12 = 120\pi\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că segmentul $A'B$ are lungimea mai mică de $16\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle ABA'$ este dreptunghic, deci $A'B^2 = AA'^2 + AB^2 = 12^2 + 10^2 = 244\text{ cm}^2$ 3 p
Cum $244 < 256$ , obținem $A'B < 16\text{ cm}$ 2 p

c)5 p

Calculați valoarea sinusului unghiului dintre dreapta $AO'$ și planul uneia dintre bazele cilindrului circular drept.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{12}{13}$

Barem oficial

Unghiul dintre $AO'$ și planul bazei este $\angle OAO'$ , unde $O$ este centrul bazei cilindrului circular drept2 p
$AO = 5\text{ cm}$ și, cum $\triangle OAO'$ este dreptunghic, obținem $AO' = 13\text{ cm}$ , deci $\sin(\angle OAO') = \dfrac{12}{13}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2017, 21 iunie (Varianta 6) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru arii și volume ale corpurilor · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AA' = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AB = 4\text{ cm}$ . Volumul prismei $ABCA'B'C'$ este egal cu:

Rezolvă →EN 2025 model · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$ . Dacă $AB = 4\text{ cm}$ , atunci aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

Tetraedrul regulat ABCD cu vârful D sus.

Rezolvă →EN 2023 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ , $BC = 2\text{ cm}$ și $AA' = 4\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu M mijlocul muchiei BC; sunt trasate A'C, AB', B'M și AM.

Rezolvă →

Arii și volume ale corpurilor Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).