Evaluare Națională 2025 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ , cu $AB = 20\text{ cm}$ , iar punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$ , respectiv $CD$ .

Tetraedrul regulat ABCD cu M mijlocul muchiei AB și N mijlocul muchiei CD; segmentul MN trasat punctat.

a)2 p

Arată că lungimea segmentului $MN$ este egală cu $10\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CM$ și $DM$ sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale $ABC$ și $ABD$ , deci $CM = DM = 10\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p
$MN$ este înălțime în triunghiul isoscel $CMD$ , deci $MN = \sqrt{CM^2 - CN^2} = 10\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Determină măsura unghiului dreptelor $MN$ și $BD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $45^\circ$

Barem oficial

$PN$ este linie mijlocie în triunghiul $DBC$ , unde $P$ este mijlocul lui $BC$ , deci $PN \parallel BD$ , de unde $\angle(MN, BD) = \angle(MN, PN)$ 1 p
Cum $PN = \dfrac{BD}{2} = 10\text{ cm}$ , $MP = \dfrac{AC}{2} = 10\text{ cm}$ , rezultă că $MP^2 + PN^2 = MN^2$ , deci triunghiul $MPN$ este dreptunghic isoscel, cu $\angle MPN = 90^\circ$ 1 p
Obținem $\angle(MN, PN) = \angle MNP = 45^\circ$ , deci $\angle(MN, BD) = 45^\circ$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2025, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Distanțe în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri în spațiu Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).