Evaluare Națională 2025 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 9\text{ cm}$ și $AC = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ se află pe latura $AB$ , $BM = 3\text{ cm}$ . Paralela prin $M$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AG$ și $BC$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; M pe AB, P pe BC cu MP paralel cu AC; G centrul de greutate pe mediana AE.

a)2 p

Arată că lungimea segmentului $BC$ este egală cu $15\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ , $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} =$ 1 p
$= \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Calculează aria patrulaterului $MGEP$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $9\text{ cm}^2$

Barem oficial

Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC \Rightarrow \dfrac{AG}{AE} = \dfrac{2}{3}$ și, cum $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{3}$ , obținem $\dfrac{AG}{AE} = \dfrac{AM}{AB}$ , deci $MG \parallel BE \Rightarrow \triangle AMG \sim \triangle ABE \Rightarrow \dfrac{MG}{BE} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MG = 5\text{ cm}$ 1 p
$MR \perp BP$ , $R \in BP \Rightarrow MR = \dfrac{12}{5}\text{ cm}$ , $PE = BE - BP$ și, cum $E$ mijlocul lui $BC \Rightarrow PE = \dfrac{5}{2}\text{ cm}$ 1 p
$MGEP$ trapez $\Rightarrow \mathcal{A}_{MGEP} = \dfrac{(MG + PE) \cdot MR}{2} = 9\text{ cm}^2$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2025, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru relații metrice în triunghiul dreptunghic · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ . Punctul $Q$ se află pe latura $AB$ , astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$ . Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; Q pe AB, P pe BC cu QP paralel cu AC; G este centrul de greutate pe mediana AM.

Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Linii importante în triunghi Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).