Evaluare Națională 2025 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$ și punctul $N$ este proiecția punctului $B$ pe dreapta $CM$ .

Pătratul ABCD; M mijlocul laturii AD; N piciorul perpendicularei din B pe CM; sunt trasate MC, BN și AN.

a)2 p

Arată că aria triunghiului $MBC$ este egală cu $50\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = AB^2 = 100\text{ cm}^2$ 1 p
$\mathcal{A}_{\triangle CDM} = \mathcal{A}_{\triangle ABM} = \dfrac{5 \cdot 10}{2} = 25\text{ cm}^2 \Rightarrow \mathcal{A}_{MBC} = 100 - (25 + 25) = 50\text{ cm}^2$ 1 p

b)3 p

Arată că perimetrul triunghiului $MAN$ este mai mic decât $22\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM$ este linie mijlocie în triunghiul $TBC$ , unde $AB \cap MC = \{T\} \Rightarrow$ punctul $A$ este mijlocul segmentului $TB$ , deci $NA$ este mediană în triunghiul dreptunghic $BNT \Rightarrow NA = \dfrac{TB}{2} = 10\text{ cm}$ 1 p
$TC = \sqrt{TB^2 + BC^2} = 10\sqrt{5}\text{ cm}$ , $BC^2 = CN \cdot CT \Rightarrow CN = 2\sqrt{5}\text{ cm}$ , deci $MN = 3\sqrt{5}\text{ cm}$ 1 p
$P_{\triangle MAN} = AM + MN + NA = 5 + 3\sqrt{5} + 10 = \left(15 + 3\sqrt{5}\right)\text{ cm}$ și, cum $3\sqrt{5} = \sqrt{45} < \sqrt{49} = 7$ , obținem $P_{\triangle MAN} < 22\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 3 · Ex. 5 → · Toate exercițiile din EN 2025, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).