Evaluare Națională 2023 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată sunt reprezentate rombul $ABCD$ cu măsura unghiului $BAD$ egală cu $45^\circ$ și triunghiul dreptunghic isoscel $ABE$ cu $AB = BE = 10\text{ cm}$ . Punctele $C$ și $E$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$ .

Rombul ABCD deasupra dreptei AB și triunghiul dreptunghic isoscel ABE sub ea, cu unghiul drept în B.

a)2 p

Arată că dreapta $DA$ este perpendiculară pe dreapta $AE$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiul $ABE$ este dreptunghic isoscel, deci $\angle BAE = 45^\circ$ 1 p
$\angle DAE = \angle DAB + \angle BAE = 90^\circ$ , deci dreapta $DA$ este perpendiculară pe dreapta $AE$ 1 p

b)3 p

Arată că tangenta unghiului $CAE$ este egală cu $\sqrt{2} + 1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BC \cap AE = \{N\}$ , $DA \parallel BN$ , $DA \perp AE \Rightarrow BN \perp AE$ 1 p
În triunghiul dreptunghic isoscel $ABE$ , $AE = 10\sqrt{2}\text{ cm}$ , $BN$ înălțime $\Rightarrow BN$ mediană, deci $BN = \dfrac{AE}{2} = AN = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ 1 p
În triunghiul dreptunghic $ACN$ , $\operatorname{tg}(\angle CAE) = \dfrac{CN}{AN} = \dfrac{10 + 5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2023, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Unghiuri Triunghiul: proprietăți și congruență Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).