Evaluare Națională 2020 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu $AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $E$ aparține dreptei $AB$ astfel încât $B \in (AE)$ și $BE = 4\text{ cm}$ , iar punctul $F$ este situat pe latura $AD$ astfel încât $AD = 3DF$ .

Figura 2: pătratul ABCD; E pe prelungirea lui AB dincolo de B; F pe latura AD; sunt trasate CF și CE.

a)5 p

Arătați că $DF = 4\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$DF = \dfrac{AD}{3} =$ 3 p
$= \dfrac{12}{3} = 4\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Arătați că aria patrulaterului $AECF$ este egală cu $144\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle DCF$ și $\triangle BCE$ sunt dreptunghice, $DC = BC$ și $DF = BE$ , deci $\triangle DCF \equiv \triangle BCE$ , de unde obținem $\mathcal{A}_{\triangle DCF} = \mathcal{A}_{\triangle BCE}$ 3 p
$\mathcal{A}_{AECF} = \mathcal{A}_{ABCD} - \mathcal{A}_{\triangle DCF} + \mathcal{A}_{\triangle BCE} = \mathcal{A}_{ABCD} = AB^2 = 144\text{ cm}^2$ 2 p

c)5 p

Perpendiculara din $C$ pe dreapta $EF$ intersectează dreapta $AB$ în $M$ . Demonstrați că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle CFE$ este isoscel și, cum $EF = 8\sqrt{5}\text{ cm}$ , obținem $EN = 4\sqrt{5}\text{ cm}$ , unde $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $CM$ și $EF$ 3 p
$\triangle EMN \sim \triangle EFA \Rightarrow \dfrac{EM}{EF} = \dfrac{EN}{EA}$ , deci $EM = 10\text{ cm}$ și, cum $B \in (EM)$ , obținem $MB = 6\text{ cm}$ , deci $MB = \dfrac{AB}{2}$ , de unde obținem că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, sesiunea specială (Varianta 4) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Puncte, drepte, segmente Arii și perimetre în plan Triunghiul: proprietăți și congruență Teorema lui Thales și asemănarea Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).