Evaluare Națională 2015 · Matematică · subiectul de rezervă · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu înălțimea $VO$ , $BC = 12\text{ cm}$ și $VM = 6\text{ cm}$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Figura 3: piramida triunghiulară regulată VABC cu înălțimea VO și apotema VM.

a)5 p

Arătați că aria triunghiului $VBC$ este egală cu $36\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\triangle VBC} = \dfrac{BC \cdot VM}{2} =$ 2 p
$= \dfrac{12 \cdot 6}{2} = 36\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Calculați volumul piramidei $VABC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $72\sqrt{2}\text{ cm}^3$

Barem oficial

$OM = \dfrac{1}{3}AM = 2\sqrt{3}\text{ cm} \Rightarrow VO = 2\sqrt{6}\text{ cm}$ 2 p
$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2 \Rightarrow V_{\text{piramidă}} = \dfrac{36\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{3} = 72\sqrt{2}\text{ cm}^3$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că dreptele $VA$ și $VM$ sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$VM$ este mediană în $\triangle VBC$ și $VM = \dfrac{BC}{2} \Rightarrow \triangle VBC$ este dreptunghic în $V$ 2 p
$VABC$ este piramidă triunghiulară regulată, deci $VA \perp VB$ și $VA \perp CV$ și cum $\{V\} = VB \cap CV$ , obținem $VA \perp (VBC)$ . Deoarece $VM \subset (VBC)$ , obținem $VA \perp VM$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2015, subiect de rezervă (Varianta 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și perimetre în plan Arii și volume ale corpurilor Linii importante în triunghi Relații metrice în triunghiul dreptunghic Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).