Evaluare Națională 2019 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel $ABCD$ cu $AB \parallel CD$ , $CD = 12\sqrt{2}\text{ m}$ , $AD = BC = 24\text{ m}$ și $m(\angle BAD) = 45^\circ$ . Punctul $M$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $AB$ , $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului $ABCD$ și $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $BC$ .

Figura 2: trapezul isoscel ABCD cu diagonalele care se intersectează în O și înălțimea DM.

a)5 p

Arătați că $AM = 12\sqrt{2}\text{ m}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\cos(\angle DAM) = \dfrac{AM}{AD}$ 2 p
$\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{AM}{24} \Rightarrow AM = 12\sqrt{2}\text{ m}$ 3 p

b)5 p

Determinați aria triunghiului $AEB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $648\text{ m}^2$

Barem oficial

$AB = 36\sqrt{2}\text{ m}$ 1 p
$m(\angle BAE) = m(\angle ABE) = 45^\circ \Rightarrow \triangle ABE$ dreptunghic isoscel, deci $d(E, AB) = \dfrac{AB}{2} = 18\sqrt{2}\text{ m}$ 2 p
$\mathcal{A}_{\triangle AEB} = \dfrac{36\sqrt{2} \cdot 18\sqrt{2}}{2} = 648\text{ m}^2$ 2 p

c)5 p

Punctul $P$ este mijlocul laturii $AB$ . Demonstrați că punctele $P$ , $O$ și $E$ sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle ABE$ este isoscel și $EP$ este mediană, deci $EP \perp AB$ 2 p
$\triangle ABD \equiv \triangle BAC \Rightarrow \angle ABD \equiv \angle BAC \Rightarrow \triangle AOB$ este isoscel și $OP$ este mediană, deci $OP \perp AB$ , de unde obținem că punctele $P$ , $O$ și $E$ sunt coliniare3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2019, sesiunea iunie (Varianta 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).