Evaluare Națională 2018 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB = 8\text{ cm}$ și $BC = 6\text{ cm}$ . Pe planul dreptunghiului $ABCD$ se construiește perpendiculara $DM$ pe care se consideră punctul $N$ , mijlocul segmentului $DM$ .

Figura 3: dreptunghiul ABCD cu perpendiculara DM pe plan și N mijlocul lui DM; sunt trasate BM, NC, NA și AC.

a)5 p

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $48\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC =$ 2 p
$= 8 \cdot 6 = 48\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $BM$ este paralelă cu planul $(ACN)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\{O\} = AC \cap BD \Rightarrow ON$ este linie mijlocie în $\triangle DBM$ 2 p
$BM \parallel ON$ și $ON \subset (ACN)$ , deci $BM \parallel (ACN)$ 3 p

c)5 p

Știind că unghiul dintre planele $(ACD)$ și $(ACN)$ are măsura de $60^\circ$ , arătați că $DM = \dfrac{48\sqrt{3}}{5}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$DE \perp AC$ , $E \in AC$ și, cum $ND \perp (ACD)$ , $AC \subset (ACD)$ , obținem $NE \perp AC$ 1 p
Cum $(ACD) \cap (ACN) = AC$ , $DE \perp AC$ , $DE \subset (ACD)$ și $NE \perp AC$ , $NE \subset (ACN)$ , obținem $m(\angle((ACD), (ACN))) = m(\angle(DE, NE)) = m(\angle DEN)$ , deci $m(\angle DEN) = 60^\circ$ 2 p
$DE = \dfrac{24}{5}\text{ cm}$ , $\dfrac{ND}{DE} = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$ , deci $DM = 2ND = \dfrac{48\sqrt{3}}{5}\text{ cm}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2018, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru paralelism și perpendicularitate în spațiu · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Paralelism și perpendicularitate în spațiu Arii și perimetre în plan Linii importante în triunghi Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).