Evaluare Națională 2016 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ , cu baza triunghiul $ABC$ și $AB = 12\text{ m}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM = 6\sqrt{3}\text{ m}$ , iar $VO$ este înălțimea piramidei.

Figura 3: piramida triunghiulară regulată VABC cu înălțimea VO și apotema VM, M mijlocul lui BC.

a)5 p

Arătați că aria laterală a piramidei $VABC$ este egală cu $108\sqrt{3}\text{ m}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = 3 \cdot \dfrac{VM \cdot BC}{2} =$ 2 p
$= 3 \cdot \dfrac{6\sqrt{3} \cdot 12}{2} = 108\sqrt{3}\text{ m}^2$ 3 p

b)5 p

Arătați că volumul piramidei $VABC$ este egal cu $144\sqrt{2}\text{ m}^3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Cum $\triangle VOM$ este dreptunghic și $OM = \dfrac{1}{3}AM = 2\sqrt{3}\text{ m}$ , obținem $VO = \sqrt{VM^2 - OM^2} = 4\sqrt{6}\text{ m}$ 2 p
$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = 36\sqrt{3}\text{ m}^2 \Rightarrow V_{\text{piramidă}} = \dfrac{36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6}}{3} = 144\sqrt{2}\text{ m}^3$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii $VO$ la dreapta $VA$ este mai mică decât $3\text{ m}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$N$ este mijlocul segmentului $VO$ și $NP \perp VA$ , $P \in (VA) \Rightarrow \triangle VPN \sim \triangle VOA$ , deci $\dfrac{VN}{VA} = \dfrac{NP}{AO}$ 2 p
$NP = \dfrac{VN \cdot AO}{VA} = \dfrac{2\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{3}}{12} = 2\sqrt{2}\text{ m}$ și, cum $2\sqrt{2} < 3 \Leftrightarrow \sqrt{8} < \sqrt{9}$ , obținem $NP < 3\text{ m}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2016, sesiunea din 8 iunie 2016 (Varianta 04) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Relații metrice în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi Distanțe în spațiu Teorema lui Thales și asemănarea Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).