Evaluare Națională 2024 · Matematică · subiectul de rezervă · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ . Punctul $M$ aparține laturii $CD$ , iar paralela prin $M$ la dreapta $AD$ intersectează latura $AB$ în punctul $N$ . Bisectoarea unghiului $ANM$ intersectează latura $AD$ în punctul $P$ , iar bisectoarea unghiului $MNB$ intersectează latura $BC$ în punctul $Q$ .

Pătratul ABCD; M pe latura DC, N pe AB cu MN paralel cu AD; bisectoarele NP (P pe AD) și NQ (Q pe BC).

a)2 p

Arată că măsura unghiului $PNQ$ este egală cu $90^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$NP$ este bisectoarea unghiului $ANM$ , deci $\angle PNM = 45^\circ$ 1 p
$NQ$ este bisectoarea unghiului $MNB$ , deci $\angle MNQ = 45^\circ$ , de unde obținem $\angle PNQ = 90^\circ$ 1 p

b)3 p

Demonstrează că punctele $P$ , $O$ și $Q$ sunt coliniare, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiurile $PAN$ și $NBQ$ sunt dreptunghice isoscele, deci $AN = AP$ și $NB = BQ$ și, cum $ABCD$ este pătrat, obținem $DP = BQ$ 1 p
Cum $DP \parallel BQ$ , obținem că $DPBQ$ este paralelogram1 p
$AC \cap DB = \{O\}$ , deci punctul $O$ este mijlocul lui $DB$ și, cum $DPBQ$ este paralelogram, rezultă că $O$ este mijlocul segmentului $PQ$ , deci punctele $P$ , $O$ și $Q$ sunt coliniare1 p

← Ex. 3 · Ex. 5 → · Toate exercițiile din EN 2024, subiect de rezervă (Varianta 2) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Unghiuri Triunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).