Evaluare Națională 2020 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un paralelogram $ABCD$ cu $AB = 13\text{ cm}$ , $BC = 10\text{ cm}$ și $m(\angle BAD) < 90^\circ$ . Se consideră punctul $E$ astfel încât $DE \parallel AC$ , $DE < AC$ și segmentele $BC$ și $CE$ sunt congruente.

Figura 2: paralelogramul ABCD cu diagonala AC; punctul E deasupra lui DC, cu DE paralel cu AC și CE = BC; sunt trasate EB și EC.

a)5 p

Arătați că perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $46\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{ABCD} = 2(AB + BC) =$ 3 p
$= 2(13 + 10) = 46\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că segmentele $AB$ și $AE$ sunt congruente.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BC = CE$ și $AD = BC$ , deci $AD = CE$ și, cum $DE \parallel AC$ , obținem că $ACED$ este trapez isoscel, deci $AE = CD$ 3 p
$AB = CD$ , deci $AB = AE$ 2 p

c)5 p

Demonstrați că, dacă măsura unghiului $BCE$ este de $60^\circ$ , atunci aria patrulaterului $ABCE$ este egală cu $60 + 25\sqrt{3}\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiul $BCE$ echilateral și are aria $25\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 2 p
$AB = AE$ și $BC = CE$ , deci $AC$ este mediatoarea segmentului $BE$ , de unde obținem că $AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = 12\text{ cm}$ , unde $F$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BE$ ; $\mathcal{A}_{\triangle ABE} = 60\text{ cm}^2 \Rightarrow \mathcal{A}_{ABCE} = \mathcal{A}_{\triangle ABE} + \mathcal{A}_{\triangle BCE} = 60 + 25\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, sesiunea iunie (Varianta 1) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Triunghiul: proprietăți și congruență Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).