Evaluare Națională 2015 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un con circular drept cu înălțimea $VO$ , $VO = 12\text{ cm}$ . Segmentul $AB$ este diametru al bazei conului și $VA = 15\text{ cm}$ .

Figura 3: con circular drept cu vârful V, înălțimea VO și diametrul bazei AB.

a)5 p

Arătați că volumul conului circular drept este egal cu $324\pi\text{ cm}^3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AO = 9\text{ cm} \Rightarrow \mathcal{A}_{\text{bazei}} = 81\pi\text{ cm}^2$ 3 p
$V_{\text{con}} = \dfrac{81\pi \cdot 12}{3} = 324\pi\text{ cm}^3$ 2 p

b)5 p

Calculați valoarea sinusului unghiului format de generatoarea conului cu planul bazei.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{4}{5}$

Barem oficial

Notăm cu $\alpha$ planul bazei conului: $VO \perp \alpha \Rightarrow m(\angle(VA, \alpha)) = m(\angle VAO)$ 2 p
$\sin(\angle VAO) = \dfrac{VO}{VA} = \dfrac{4}{5}$ 3 p

c)5 p

Conul se secționează cu un plan paralel cu planul bazei astfel încât aria secțiunii formate este egală cu $9\pi\text{ cm}^2$ . Determinați distanța de la punctul $V$ la planul de secțiune.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $4\text{ cm}$

Barem oficial

$\pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r = 3\text{ cm}$ , unde $r$ este raza secțiunii2 p
$\dfrac{VO'}{VO} = \dfrac{r}{AO}$ , unde $VO'$ este distanța de la punctul $V$ la planul de secțiune, de unde $VO' = 4\text{ cm}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2015, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru cilindru, con, sferă · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2017 model · Subiectul III, ex. 2 · 15 p

În Figura 3 este reprezentat un con circular drept, cu secțiunea axială $VAB$ , raza bazei $OA = 3\text{ cm}$ și înălțimea $VO = 4\text{ cm}$ .

Rezolvă →EN 2016 model · Subiectul III, ex. 2 · 15 p

În Figura 3 este reprezentat schematic un cornet pentru înghețată în formă de con circular drept a cărui secțiune axială este triunghiul $AVB$ cu $AB = 10\text{ cm}$ și $VA = VB = 13\text{ cm}$ .

Figura 3: cornet în formă de con circular drept cu vârful V în jos, diametrul AB sus și centrul O.

Rezolvă →EN 2025 iunie · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral $VAB$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ . Aria laterală a conului este egală cu:

Con circular drept cu vârful V și diametrul bazei AB; secțiunea axială VAB.

Rezolvă →

Cilindru, con, sferă Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Trunchi de piramidă și trunchi de con Teorema lui Thales și asemănarea

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).