Evaluare Națională 2023 · Matematică · subiectul de rezervă · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC, cu AB=AC=10 cmAB = AC = 10\text{ cm} și ∠BAC=120∘\angle BAC = 120^\circ. Punctul MM este mijlocul segmentului BCBC și punctul SS este simetricul punctului MM față de punctul AA.

Triunghiul isoscel ABC cu unghiul A obtuz; M mijlocul lui BC; S simetricul lui M față de A; segmentul SC trasat.

a)2 p

Arată că BC=103 cmBC = 10\sqrt{3}\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Triunghiul ABCABC este isoscel, AMAM mediană, deci AMAM este înălțime și bisectoare1 p
  2. Triunghiul AMCAMC este dreptunghic în MM, sin⁡(∠CAM)=CMAC\sin(\angle CAM) = \dfrac{CM}{AC}, de unde obținem CM=53 cmCM = 5\sqrt{3}\text{ cm}, deci BC=103 cmBC = 10\sqrt{3}\text{ cm}1 p

b)3 p

Demonstrează că distanța de la punctul MM la dreapta SCSC este mai mică decât 7 cm7\text{ cm}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Triunghiul SMCSMC este dreptunghic în MM, SC2=MC2+MS2SC^2 = MC^2 + MS^2, deci SC=57 cmSC = 5\sqrt{7}\text{ cm}1 p
  2. MT⊥CSMT \perp CS, unde T∈SCT \in SC, deci d(M,SC)=MT=SM⋅MCSC=10217 cmd(M, SC) = MT = \dfrac{SM \cdot MC}{SC} = \dfrac{10\sqrt{21}}{7}\text{ cm}1 p
  3. Cum 10217<7⇔1021<49⇔2100<2401\dfrac{10\sqrt{21}}{7} < 7 \Leftrightarrow 10\sqrt{21} < 49 \Leftrightarrow 2100 < 2401, obținem MT<7 cmMT < 7\text{ cm}1 p

· · Toate exercițiile din EN 2023, subiect de rezervă (Varianta 5) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru OO. Punctele AA, BB, CC și DD aparțin cercului, astfel încât ABAB este diametru. Dreptele CDCD și ABAB sunt paralele, semidreapta ACAC este bisectoarea unghiului BADBAD și CD=16 cmCD = 16\text{ cm}.

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABCABC, cu AB=ACAB = AC. Punctul OO este mijlocul laturii BCBC, iar punctele AA și DD sunt de o parte și de alta a dreptei BCBC, astfel încât ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^\circ și ∠BCD=60∘\angle BCD = 60^\circ.

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.
Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′ABCA'B'C', cu baza triunghiul echilateral ABCABC, AB=12 cmAB = 12\text{ cm} și AA′=33 cmAA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}.

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.
Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruențăTrigonometrie în triunghiul dreptunghicLinii importante în triunghiRelații metrice în triunghiul dreptunghicArii și perimetre în planRadicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).