Evaluare Națională 2022 · Matematică · modelul de subiect · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$ cu $AB = 12\text{ cm}$ , $BC = 9\text{ cm}$ și $AC = 15\text{ cm}$ . Punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de mijlocul segmentului $AC$ , punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$ și $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $BM$ și $AC$ .

Dreptunghiul ABCD format de triunghiul ABC și simetricul lui B; M mijlocul lui DC; BM intersectează AC în N; perpendiculara din N pe AB.

a)2 p

Demonstrează că $BN = 2 \cdot MN$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ paralelogram $\Rightarrow AB \parallel CD$ 1 p
$\triangle ABN \sim \triangle CMN$ , $\dfrac{BN}{MN} = \dfrac{AB}{CM}$ , deci $BN = 2 \cdot MN$ 1 p

b)3 p

Determină distanța de la punctul $N$ la dreapta $AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $6\text{ cm}$

Barem oficial

Cum $12^2 + 9^2 = 15^2$ , obținem că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ 1 p
$\dfrac{AN}{CN} = \dfrac{AB}{CM} = 2 \Rightarrow \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{3}$ 1 p
$NT \perp AB$ , unde $T \in AB \Rightarrow NT \parallel BC$ , deci $\triangle ATN \sim \triangle ABC$ , de unde obținem $\dfrac{NT}{BC} = \dfrac{2}{3}$ , deci distanța de la $N$ la $AB$ este $NT = 6\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 3 · Ex. 5 → · Toate exercițiile din EN 2022, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru teorema lui thales și asemănarea · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Teorema lui Thales și asemănarea Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).