Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 32 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un paralelogram $ABCD$ cu $AB=10\text{ cm}$ , $AD=6\text{ cm}$ și $m(\angle BAD)=45^\circ$ . În exteriorul paralelogramului $ABCD$ se construiesc pătratele $ADEF$ și $ABMN$ .

Figura 2: paralelogramul ABCD și pătratele ADEF și ABMN construite în exterior pe laturile AD și AB.

a)5 p

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $32\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ este paralelogram, deci $P_{ABCD}=2(AB+AD)$ 3 p
$2(10+6)=32\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Calculați aria patrulaterului $ABCD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $30\sqrt2\text{ cm}^2$

Barem oficial

Cu $DP\perp AB$ și $P\in AB$ , triunghiul $DAP$ este dreptunghic isoscel, deci $DP=3\sqrt2\text{ cm}$ 2 p
$\mathcal A_{ABCD}=AB\cdot DP=30\sqrt2\text{ cm}^2$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că punctul $A$ este ortocentrul triunghiului $CFN$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$m(\angle ADC)=135^\circ$ și $m(\angle ADF)=45^\circ$ , deci $C,D,F$ sunt coliniare. Din $NA\perp AB$ și $AB\parallel CD$ , obținem $NA\perp CF$ 2 p
$m(\angle ABC)=135^\circ$ și $m(\angle ABN)=45^\circ$ , deci $N,B,C$ sunt coliniare. Din $FA\perp AD$ și $AD\parallel BC$ , rezultă $FA\perp NC$ . Cum $NA\cap FA=\{A\}$ , punctul $A$ este ortocentrul lui $CFN$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 32 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan Unghiuri Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).