Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 11 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru $ABCD$ cu $AB=AC=AD=10\text{ cm}$ . Triunghiul $BCD$ este echilateral, are perimetrul egal cu $30\text{ cm}$ , iar punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , respectiv $AD$ .

Figura 3: tetraedrul ABCD, M mijlocul muchiei BC, N mijlocul muchiei AD; sunt trasate AM și MN, iar BD este reprezentată întrerupt.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$3BC=30\text{ cm}$ , deci $BC=10\text{ cm}$ 3 p
$P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=30\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că, dacă $P$ este mijlocul segmentului $BD$ , atunci dreapta $MP$ este paralelă cu planul $(ACD)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$M$ este mijlocul lui $BC$ și $P$ este mijlocul lui $BD$ , deci $MP$ este linie mijlocie în $\triangle BCD$ 2 p
$MP\parallel CD$ și $CD\subset(ACD)$ , deci $MP\parallel(ACD)$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că unghiul dreptelor $AB$ și $MN$ are măsura egală cu $45^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$NP$ este linie mijlocie în $\triangle ABD$ , deci $NP\parallel AB$ și unghiul dreptelor $AB$ , $MN$ este egal cu unghiul dreptelor $NP$ , $MN$ 2 p
$AM$ , $DM$ sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale $ABC$ , respectiv $BCD$ , deci $AM=DM=5\sqrt3\text{ cm}$ 1 p
$MN$ este înălțime în triunghiul isoscel $AMD$ , deci $MN=\sqrt{DM^2-DN^2}=5\sqrt2\text{ cm}$ . Cum $MP=NP=5\text{ cm}$ , avem $MN^2=MP^2+NP^2$ , adică $MNP$ este dreptunghic isoscel, de unde unghiul dreptelor $AB$ , $MN$ este $45^\circ$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 11 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi Paralelism și perpendicularitate în spațiu Unghiuri în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Transcrierea acestui exercițiu e în curs de verificare. Dacă vezi o greșeală, compară cu PDF-ul oficial.