Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 15 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=12\text{ cm}$ și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și $B\in(CD)$ . Semidreapta $BM$ , $M\in AD$ , este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$ .

Figura 2: D, B, C sunt coliniare în această ordine, ABC este echilateral, M este pe AD, BM bisectează unghiul ABD, iar MN este paralelă cu BC și N aparține lui AB.

a)5 p

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36\sqrt3\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal A_{ABC}=AB^2\sqrt3/4=12^2\sqrt3/4$ 2 p
$\mathcal A_{ABC}=144\sqrt3/4=36\sqrt3\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiurile $BMN$ și $ABC$ sunt asemenea.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\angle ABC=60^\circ$ , deci $\angle ABD=120^\circ$ . Din bisectoarea $BM$ , $\angle ABM=60^\circ$ 2 p
Unghiurile $MNB$ și $ABC$ sunt alterne interne, deci $\angle MNB=60^\circ$ . Astfel, $BMN$ este echilateral și este asemenea cu $ABC$ 3 p

c)5 p

Arătați că distanța de la $B$ la $AD$ este egală cu $\dfrac{6\sqrt{21}}7\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BD=6\text{ cm}$ și $AE=6\sqrt3\text{ cm}$ , unde $E$ este mijlocul lui $BC$ . În triunghiul dreptunghic $AED$ , $AD=6\sqrt7\text{ cm}$ 2 p
$\mathcal A_{ABD}=AE\cdot BD/2=d(B,AD)\cdot AD/2$ , deci $d(B,AD)=6\sqrt3\cdot6/(6\sqrt7)=6\sqrt{21}/7\text{ cm}$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 15 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare cu cronometru

Formulele pentru arii și perimetre în plan · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul II, ex. 3 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ . Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ . Aria triunghiului $DGC$ este egală cu $15\text{ cm}^2$ . Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

Triunghiul ABC, cu D mijlocul laturii BC și G centrul de greutate; este desenat triunghiul DGC.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu aria egală cu $96\text{ cm}^2$ . Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ , respectiv $AD$ . Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

Paralelogramul ABCD cu diagonala BD; E este mijlocul lui AB, F mijlocul lui AD, iar segmentul EF este trasat.

Rezolvă →EN 2026 simulare · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ , cu $AB = 4\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$ . Dreptele $AM$ și $DC$ se intersectează în punctul $P$ . Aria triunghiului $ABP$ este egală cu:

Pătratul ABCD; dreapta AM, cu M mijlocul lui BC, intersectează prelungirea laturii DC în punctul P; triunghiul ABP este trasat.

Rezolvă →

Arii și perimetre în plan Triunghiul: proprietăți și congruență Unghiuri Teorema lui Thales și asemănarea Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Transcrierea acestui exercițiu e în curs de verificare. Dacă vezi o greșeală, compară cu PDF-ul oficial.