Evaluare Națională 2024 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ , în care $CD$ este diametru. Punctul $B$ aparține cercului astfel încât dreptele $BO$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$ , dreptele $DM$ și $BO$ se intersectează în punctul $N$ , $DN = 2 \cdot MN$ și $MN = 4\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul CD orizontal și raza OB perpendiculară pe CD; M pe arcul mic BC, DM taie OB în N; segmentul MC este trasat.

a)2 p

Arată că măsura unghiului $CMD$ este egală cu $90^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CD$ este diametru, deci $\overset{\frown}{CD} = 180^\circ$ 1 p
$\angle CMD = \dfrac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{CD} = 90^\circ$ 1 p

b)3 p

Calculează aria triunghiului $DON$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $8\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Barem oficial

$\cos(\angle NDO) = \dfrac{OD}{ND}$ , $\cos(\angle MDC) = \dfrac{MD}{CD}$ , deci $\dfrac{OD}{ND} = \dfrac{MD}{CD}$ 1 p
$ND = 8\text{ cm}$ , $MD = 12\text{ cm} \Rightarrow \dfrac{OD}{8} = \dfrac{12}{2 \cdot OD} \Rightarrow OD = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p
$ON = \sqrt{DN^2 - OD^2} = 4\text{ cm}$ și obținem $\mathcal{A}_{\triangle DON} = \dfrac{ON \cdot OD}{2} = 8\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2024, sesiunea iunie (Varianta 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru cercul · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ , în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$ , dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$ , $DN = 6\text{ cm}$ și $MN = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB (vertical) și CD (orizontal); M este pe arcul mic BC, DM taie AB în N; segmentul MB este trasat.

Rezolvă →

Cercul Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).